Sáng Kiến Kinh Nghiệm Toán THCS (2024)

A - �ẶT VẤN �Ề

 Trong trÆ°á»�ng phổ thông môn Toán có má»™t vị trí rất quan trá»�ng. Các kiến thức và phÆ°Æ¡ng pháp Toán há»�c là công cụ thiết yếu giúp há»�c sinh há»�c tốt các môn há»�c khác, hoạt Ä‘á»™ng có hiệu quả trong má»�i lÄ©nh vá»±c. Ä�ồng thá»�i môn Toán còn giúp há»�c sinh phát triển những năng lá»±c và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho há»�c sinh khả năng tÆ° duy tích cá»±c, Ä‘á»™c lập, sáng tạo; giáo dục cho há»�c sinh tÆ° tưởng đạo đức và thẩm mỹ của ngÆ°á»�i công dân.

Ở trÆ°á»�ng THCS, trong dạy há»�c Toán, cùng vá»›i việc hình thÃnh cho há»�c sinh má»™t hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy há»�c giải các bÃi toán có tầm quan trá»�ng đặc biệt và là má»™t trong những vấn Ä‘á»� trung tâm của phÆ°Æ¡ng pháp dạy há»�c Toán ở trÆ°á»�ng phổ thông. Ä�ối vá»›i há»�c sinh THCS, có thể coi việc giải toán là má»™t hình thức chủ yếu của việc há»�c toán.

 Trong chÆ°Æ¡ng trình Toán THCS các bÃi toán vá»� cá»±c trị trong hình há»�c rất Ä‘a dạng, phong phú và có má»™t ý nghÄ©a rất quan trá»�ng đối vá»›i các em há»�c sinh ở bậc há»�c nÃy. Ä�ể giải quyết các bÃi toán vá»� cá»±c trị trong hình há»�c, ngÆ°á»�i ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất vá»›i trình Ä‘á»™ kiến thức ở bậc há»�c THCS để giải quết các bÃi toán loại nÃy. Do đó, đòi há»�i ngÆ°á»�i há»�c phải có má»™t cách suy nghÄ© logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cÅ© vá»›i kiến thức má»›i má»™t cách logic có hệ thống.

 Trong khi Ä‘a số há»�c sinh tại trÆ°á»�ng THCS Yên Lâm không có hứng thú vá»›i loại toán nÃy, bởi hầu hết các em há»�c sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c và không biết vận dụng để giải quyết các bÃi tập khác.

 Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chá»�n nghiên cứu Ä‘á»� tÃi sáng kiến kinh nghiệm: "HÆ°á»›ng dẫn há»�c sinh lá»›p 9 giải bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c".

B - GIẢI QUYẾT VẤN �Ề

I - CÆ SỞ LÃ� LUẬN

Các bÃi toán vá»� cá»±c trị trong hình há»�c rất Ä‘a dạng, phong phú và có má»™t ý nghÄ©a rất quan trá»�ng đối vá»›i các em há»�c sinh ở bậc há»�c nÃy. Ä�ể giải quyết các bÃi tập toán vá»� cá»±c trị ngÆ°á»�i ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất vá»›i trình Ä‘á»™ kiến thức ở bậc há»�c THCS để giải quết các bÃi tập toán loại nÃy.

Ä�ây là dạng toán hình há»�c được sá»­ dụng trong chÆ°Æ¡ng trình hình há»�c THCS. Tuy nhiên trong sách giáo khoa lại không hÆ°á»›ng dẫn phÆ°Æ¡ng pháp giải toán má»™t cách cụ thể, vì vậy há»�c sinh thÆ°á»�ng lúng túng khi gặp dạng toán nÃy.

Các bÃi toán cá»±c trị đã gắn toán há»�c vá»›i thá»±c tiá»…n vì việc tìm giá trị lá»›n nhất, giá trị nhá»� nhất chính là việc tìm những cái tối Æ°u thÆ°á»�ng đặt ra trong Ä‘á»�i sống và kỹ thuật.

 Do đó, việc giải các bÃi tập toán cá»±c trị trong hình há»�c ở THCS đòi há»�i ngÆ°á»�i há»�c phải có má»™t cách suy nghÄ© logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cÅ© và má»›i má»™t cách logic có hệ thống.

 Trong khi Ä‘a số há»�c sinh tại trÆ°á»�ng THCS Yên Lâm không có hứng thú vá»›i loại toán nÃy bởi lẽ, hầu hết các em há»�c sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bÃi tập toán cá»±c trị trong hình há»�c và không biết vận dụng để giải quyết các bÃi tập khác.

II - THá»°C TRáºNG CỦA VẤN Ä�Ề

 Tại trÆ°á»�ng THCS Yên Lâm khi được phân công dạy toán 9AB ở những tiết đầu tiên tôi cảm thấy băn khoăn trÆ°á»›c cách há»�c của há»�c sinh, tôi dùng nhiá»�u hình thức phát vấn trắc nghiệm rút ra má»™t hiện tượng, há»�c sinh trả lá»�i rõ rÃng, mạch lạc nhÆ°ng mang tính chất há»�c vẹt, chấp hÃnh đúng nguyên bản, và quá trình dạy để kiểm tra việc thá»±c hÃnh ứng dụng của há»�c sinh tôi Ä‘Æ°a ra má»™t số ví dụ thì Ä‘a số há»�c sinh không biết lÃm nhÆ° thế nÃo.

 Trong quá trình dạy và bồi dưỡng há»�c sinh lá»›p 9, bản thân tôi đã tìm hiểu nhiá»�u tÃi liệu và nhận thấy đây là dạng toán tÆ°Æ¡ng đối khó, tuy nhiên phần nhiá»�u các tÃi liệu chỉ Ä‘Æ°a ra bÃi tập và bÃi giải chứ ít Ä‘á»� cập đến lý thuyết vì vậy há»�c sinh ít giải được dạng toán nÃy do không hiểu Ä‘á»�, không tìm ra lá»�i giải hoặc có khi chỉ Ä‘Æ¡n giản là không trình bÃy bÃi giải được.

Qua nhiá»�u biện pháp Ä‘iá»�u tra vá»� việc giải bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c ở hai lá»›p 9A và 9B, kết quả cụ thể thu được nhÆ° sau:

III - C�C BIỆN PH�P VÀ GIẢI PH�P THỰC HIỆN

A_III - PhÆ°Æ¡ng pháp giải bÃi toán cá»±c trị hình há»�c:

1 - Dạng chung của bÃi toán cá»±c trị hình há»�c:

“Trong tất cả các hình có chung má»™t tính chất, tìm những hình mà má»™t đại lượng nÃo đó (Ä‘á»™ dÃi Ä‘oạn thẳng, số Ä‘o góc, số Ä‘o diện tích…) có giá trị lá»›n nhất hoặc giá trị nhá»� nhất.â€� và có thể được cho dÆ°á»›i các dạng:

a) BÃi toán vá»� dá»±ng hình.

Ví dụ: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) và điểm P nằm trong Ä‘Æ°á»�ng tròn, xác định vị trí của dây Ä‘i qua Ä‘iểm P sao cho dây đó có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

b) BÃi toán vể chứng minh.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây Ä‘i qua Ä‘iểm P trong má»™t Ä‘Æ°á»�ng tròn (O), dây vuông góc vá»›i OP có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

c) BÃi toán vá»� tính toán.

Ví dụ: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O;R) và điểm P nằm trong Ä‘Æ°á»�ng tròn có OP = h. Tính Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất của dây Ä‘i qua P.

 2 - HÆ°á»›ng giải bÃi toán cá»±c trị hình há»�c:

 a) Khi tìm vị trí của hình H trên miá»�n D sao cho biểu thức f có giá trị lá»›n nhất ta phải chứng tá»� được:

 + Vá»›i má»�i vị trí của hình H trên miá»�n D thì f ≤ m (m là hằng số)

 + Xác định vị trí của hình H trên miá»�n D sao cho f = m

 b) Khi tìm vị trí của hình H trên miá»�n D sao cho biểu thức f có giá trị nhá»� nhất ta phải chứng tá»� được:

 + Vá»›i má»�i vị trí của hình H trên miá»�n D thì f ≥ m (m là hằng số)

 + Xác định vị trí của hình H trên miá»�n D để f = m

 3 - Cách trình bÃy lá»�i giải bÃi toán cá»±c trị hình há»�c:

 + Cách 1: Trong các hình có tính chất của Ä‘á»� bÃi, chỉ ra má»™t hình rồi chứng minh má»�i hình khác Ä‘á»�u có giá trị của đại lượng phải tìm cá»±c trị nhá»� hÆ¡n (hoặc lá»›n hÆ¡n) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.

+ Cách 2: Thay đi�u kiện một đại lượng đạt cực trị (lớn nhất hoặc nh� nhất) bằng các đi�u kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một đi�u kiện mà ta xác định được vị trí của các điểm đạt cực trị.

Ví dụ: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) và điểm P nằm trong Ä‘Æ°á»�ng tròn (P không trùng vá»›i O). Xác định vị trí của dây Ä‘i qua Ä‘iểm P sao cho dây đó có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

 Giải:

+ Cách 1:

 Gá»�i AB là dây vuông góc vá»›i OP tại P, và dây CD là dây bất kỳ Ä‘i qua P và không trùng vá»›i AB ( h.1).

 Kẻ OH ^ CD .ÂÂÂ

DOHP vuông tại H Þ OH < OP Þ CD > AB

NhÆ° vậy trong tất cả các dây Ä‘i qua P, dây vuông góc vá»›i OP tại P có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

+ Cách 2:

Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ^ AB

Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:

AB nh� nhất Û OH lớn nhất

Ta lại có OH ≤ OP Þ OH = OP Û H ≡ P

Do đó, max OH = OP

Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.

B_III - Các kiến thức thÆ°á»�ng dùng giải bÃi toán cá»±c trị hình há»�c:

1- Sử dụng quan hệ giữa đư�ng vuông góc, đư�ng xiên, hình chiếu:

a - Kiến thức cần nhớ:

a₁) ( h.3 ) DABC vuông tại A (có thể suy biến thÃnh Ä‘oạn thẳng)

Þ AB ≤ BC và dấu “=� xảy ra Û A ≡ C.

a₂) ( h.4 ) + AH ^ a Þ AH ≤ AB. Dấu “=â€� xảy ra Û B ≡ H. Â  + AB < AC Û HB < HC

a₃) ( h.5 ) A, K ÃŽa; B, H ÃŽ b; a // b; HK ^ a Þ HK ≤ ABÂ

và dấu “=� xảy ra Û A ≡ K và B ≡ H.

b - Các ví dụ:

Ví dụ 1: Trong các hình bình hÃnh có hai Ä‘Æ°á»�ng chéo bằng 6 cm và 8 cm, hình nÃo có diện tích lá»›n nhất? Tính diện tích lá»›n nhất đó.

Giải:

Xét hình bình hÃnh ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6)

G�i O là giao điểm hai đư�ng chéo. Kẻ BH ^ AC.

Ta có: S_ABCD = 2S_ABC Â= AC.BH

Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó:

S_ABCD ≤ 8.3 = 24 (cm²)

S_ABCD = 24 cm² Û BH ≡ BO Û H ≡ O Û BD ^AC

Vậy max S_ABCD = 24 cm². Khi đó hình bình hÃnh ABCD là hình thoi (h.7) có diện tích 24cm².

Ví dụ 2: Cho Ä‘oạn thẳng AB có Ä‘á»™ dÃi 2a. Vẽ vá»� má»™t phía của AB các tia Ax và By vuông góc vá»›i AB. Qua trung Ä‘iểm của M của AB có hai Ä‘Æ°á»�ng thẳng thay đổi luôn vuông góc vá»›i nhau và cắt Ax, By theo thứ tá»± tại C và D. Xác định vị trí của các Ä‘iểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhá»� nhất. Tính diện tích tam giác đó.

Giải: (h.8)

G�i K là giao điểm của CM và DB

Ta có: MA = MB; ,

Þ DMAC = DMBK Þ MC = MK

Mặt khác DM ^ CKÂ

Þ DDCK cân Þ

Kẻ MH ^ CD.

ÂDMHD = DMBD Þ MH = MB = a

Þ S_MCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a = a²

S_MCD = a² Û CD ^ Ax khi đó Â= 45⁰; Â= 45⁰.

Þ min S_MCD = a².

Vậy các điểm C, D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BC = a.

2- Sử dụng quan hệ giữa đư�ng thẳng và đư�ng gấp khúc:

a - Kiến thức cần nhớ:

Vá»›i ba Ä‘iểm A, B, C bất kỳ ta có: AC + CB ≥ AB

AC + CB = AB Û C thuộc đoạn thẳng AB.

b - Các ví dụ:

Ví dụ 3: Cho góc Âvà điểm A nằm trong góc đó. Xác định Ä‘iểm B thuá»™c tia Ox, Ä‘iểm C thuá»™c tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB + AC là nhá»� nhất.

Giải: (h.9)

Kẻ tia Om nằm ngoÃi góc xOy sao cho . Trên tia Om lấy Ä‘iểm D sao cho OD = OA. Các Ä‘iểm D và A cố định.

OD = OA, OC = OB, Â

Þ DDOC = DAOB Þ CD = AB

Do đó AC + AB = AC + CD

Mà AC + CD ≥ AD Þ AC + AB ≥ AD

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C Î AD

Vậy min(AC + AB) = AD. Khi đó C là giao điểm của AD và Oy, B thuộc tia Ox sao cho OB = OC.

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH có chu vi nh� nhất.

Giải:

G�i I, K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG, EH (h.10).

DAEF vuông tại A có AI là trung tuyến Þ AI =1/2EF

DCGH vuông tại C có CM là trung tuyến Þ CM =1/2GH

IK là đư�ng trung bình của DEFG Þ IK = 1/2FG

KM là đư�ng trung bình của DEGH Þ KM = 1/2EH

Do đó: chu vi EFGH = EF + FG + GH + EH = 2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có: AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( Ä‘á»™ dÃi AC không đổi )

Chu vi EFGH nhá»� nhất bằng 2AC Û A, I, K, M, C thẳng hÃng.

Khi đó ta có EH//AC, FG//AC, Ânên EF//DB, tÆ°Æ¡ng tá»± GH//DB. Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hÃnh có các cạnh song song vá»›i các Ä‘Æ°á»�ng chéo của hình chữ nhật ABCD (h.11).

3- Sử dụng các bất đẳng thức trong đư�ng tròn:

a₁) AB là đưá»�ng kính, CD là dây bất kỳ Þ CD ≤ AB (h.14)

a₂) OH,OK là các khoảng cách từ tâm đến dây AB và CD:

 AB ≥ CD Û OH ≤ OK (h.15)

a₃) AB, CD là các cung nhá»� của (O): AB ≥ CD Û ÂÂ(h.16)

a₄) AB, CD là các cung nhá»� của (O): AB ≥ CD Û ÂÂÂÂÂÂÂÂ(h.17)

b - Các ví dụ:

Ví dụ 5: Cho hai đư�ng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. một cát tuyến chung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đư�ng tròn (O) và (O’) tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để DACD có chu vi lớn nhất.

Giải: (h.16)

sÄ‘ Â= sÄ‘ ; sÄ‘ Â= sÄ‘

Þ số đo các góc DACD không đổi

Þ DACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhất, chẳng hạn AC là lớn nhất.

AC là dây của đư�ng tròn (O), do đó AC lớn nhất khi AC là đư�ng kính của đư�ng tròn (O), khi đó AD là đư�ng kính của đư�ng tròn (O’). Cát tuyến CBD ở vị trí C’BD’ vuông góc với dây chung AB.

Ví dụ 6: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) và má»™t Ä‘iểm P nằm trong Ä‘Æ°á»�ng tròn. Xác định dây AB Ä‘i qua P sao cho Âcó giá trị lá»›n nhất.

Giải: (h.17)

 Xét tam giác cân OAB, góc ở đáy Âlá»›n nhấtÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ Û góc ở đỉnh Ânhá»� nhất.

ÂMÃ: sÄ‘ Â

Þ Góc Ânhá»� nhất Û Cung Ânhá»� nhất

Û dây AB nh� nhất Û Khoảng cách đến tâm OH lớn nhất.

Ta có: OH ≤ OP Þ OH = OP Û H ≡ P nên max OH = OP Û AB ^OP

Suy ra dây AB phải xác định là dây A’B’ vuông góc với OP tại P.

4- Sử dụng bất đẳng thức v� lũy thừa bậc hai:

a - Kiến thức cần nhớ:

Các bất đẳng thức v� lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng:

A² ≥ 0; -A² ≤ 0

 Do đó vá»›i m là hằng số, ta có:

f = A² + m ≥ m; min f = m vá»›i A = 0

f = - A² + m ≤ m; max f = m vá»›i A = 0

b - Các ví dụ:

Ví dụ 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA, lấy theo thứ tá»± các Ä‘iểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tính Ä‘á»™ dÃi AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhá»� nhất.

Giải: (h.18)ÂÂÂÂ

DAHE = DBEF = DCFG = DDGH

Þ HE = EF = FG = GH, HEF = 90⁰

Þ HEFG là hình vuông nên chu vi EFGH nh� nhất khi HE nh� nhất.

�ặt AE = x thì HA = EB = 4-x

DHAE vuông tại A nên :

HE ² = AE² + AE²Â = x² + (4 - x)²

= 2x² - 8x +16 = 2(x - 2)² + 8 ≥ 8

HE = Â= 2  Û x = 2

Chu vi tứ giác EFGH nh� nhất bằng 8 cm, khi đó AE = 2 cm.

Ví dụ 8: Cho tam giác vuông ABC có Ä‘á»™ dÃi các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là điểm di chuyển trên cạnh huyá»�n BC. Gá»�i D và E là chân các Ä‘Æ°á»�ng vuông góc kẻ từ M đến AB và AC. Tính diện tích lá»›n nhất của tứ giác ADME. Giải: (h.19)

ADME là hình chữ nhật.

�ặt AD = x thì ME = x

ME //AB Þ

Þ AE = 8 - x.

Ta có: S_ADME Â= AD.AE = x (8 - x ) = 8x - x² = - (x - 3)² +12 ≤ 12

S_ADME Â= 12 cm² Û x = 3

Diện tích lá»›n nhất của tứ giác ADME bằng 12 cm² ,khi đó D là trung Ä‘iểm của AB, M là trung Ä‘iểm của BC và E là trung Ä‘iểm của AC.

5- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

a- Kiến thức cần nhớ:

ÂBất đẳng thức Cô-si: Vá»›i x ≥ 0; y ≥ 0 ta có:

 Â Â Â ÂDấu “=â€� xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Bất đẳng thức Cô-si thư�ng được sử dụng dưới các dạng sau:

+ Dạng 1: Dấu “=� xảy ra khi và chỉ khi x = y

+ Dạng 2: ; Â; ÂÂÂÂÂ;

 Dấu “=â€� xảy ra khi và chỉ khi x = y

Â

+ Dạng 3: Với x ≥ 0; y ≥ 0; x + y không đổi thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y

+ Dạng 4: Với x ≥ 0; y ≥ 0; xy không đổi thì x+y nh� nhất khi và chỉ khi x = y

b - Các ví dụ:

Ví dụ 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ các đư�ng tròn có đư�ng kính MA và MB. Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nh� nhất.

Giải: (h.20)Â

�ặt MA = x, MB = y

Ta có: x + y =AB (0 < x, y < AB)

G�i S và S’ theo thứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đư�ng kính là MA và MB.

Ta có: S + S’ = = p.

Ta có bất đẳng thức: Ânên :

S + S’ = ÂÂ

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó min (S+S’) = . Khi đó M là trung điểm của AB.

Ví dụ 10: Cho DABC, Ä‘iểm M di Ä‘á»™ng trên cạnh BC. Qua M kẻ các Ä‘Æ°á»�ng thẳng song song vá»›i AC và vá»›i AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tá»± ở D và E. Xác định vị trí của Ä‘iểm M sao cho hình bình hÃnh ADME có diện tích lá»›n nhất.

Giải: (h.21)

S_ADME lá»›n nhất Û Âlá»›n nhất

Kẻ BK ^ AC cắt MD ở H.

S_ADME = MD . HK; S_ABC = AC . BK

�ặt MB = x, MC = y,

MD//AC ta có: ;ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

Theo bất đẳng thức  Â ޠ. ÂÂÂÂÂÂ

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy maxS_ADME = S_ABC khi đó M là trung điểm của BC.

6- Sử dụng tỉ số lượng giác:

a - Kiến thức cần nhớ:

Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

+ b = a.sinB = a.cosC

+ b = c.tgB = c.cotgC

b - Các ví dụ:

Ví dụ 11: Chứng minh rằng trong các tam giác cân có cùng diện tích tam giác có cạnh đáy nh� hơnlà tam giác có góc ở đỉnh nh� hơn.

Giải: (h.23)

Xét các tam giác ABC cân tại A có cùng diện tích S. Kẻ Ä‘Æ°á»�ng cao AH. Ä�ặt Â= a

DAHC vuông tại H, ta có :

; AH = HC.cotg Â= BC.cotg

Do đó: S = BC.AH = BC. BC.cotg Â= BC²cotg

Þ BC =

Do S không đổi nên: BC nhá»� nhất Û tg Ânhá»� nhất Û Ânhá»� nhất

Û a nhá»� nhất Û Ânhá»� nhất.

Ví dụ 12: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các Ä‘iểm K,M sao cho BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1. Tìm tỉ số AB : BC để số Ä‘o góc Âlá»›n nhất.

(Cho công thức biến đổi tg(x + y) = )

Giải: (h.24)

Ä�ặt , ÂÂÂ( x + y < 90⁰ )

lá»›n nhất Û ÂÂ+ Ânhá»� nhất

Û x + y nh� nhất Û tg (x + y) nh� nhất

Giả sử AB : BC = 1: m ( m> 0)

tg x =

tg y =

tg(x + y) = = =

tg (x + y) nhá»� nhất Û Ânhá»� nhất

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

Â≥

Dấu đẳng thức xảy ra Û ÂÛ m =

Vậy x + y nh� nhất khi và chỉ khi m =

Do đó Âlá»›n nhất khi và chỉ khi AB : BC = 2 : 1.

C_III - BÃi tập ôn luyện:

BÃi 1: Cho hình vuông ABCD. Hãy xác định Ä‘Æ°á»�ng thẳng d Ä‘i qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến Ä‘Æ°á»�ng thẳng đó lÃ:

a) Lớn nhất.

b) Nh� nhất.

BÃi 2: Cho DABC vuông cân tại A các Ä‘iểm D, E theo thứ tá»± di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí các Ä‘iểm D, E sao cho:

a) DE có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất.

BÃi 3: Cho D ABC vuông tại A có BC = a, diện tích là S. Gá»�i M là trung Ä‘iểm của BC. Hai dÆ°á»�ng thẳng thay đổi qua M và vuông góc vá»›i nhau cắt các cạnh AB, AC ở D, E. Tìm:

a, Giá trị nh� nhất của đoạn thẳng DE.

b, Giá trị nhá»� nhất của diện tích D MDE.ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ

BÃi 4: Cho Ä‘iểm M di chuyển trên Ä‘oạn thẳng AB. Vẽ các tam giác Ä‘á»�uAMC và BMD vá»� má»™t phía của AB. Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác Ä‘á»�u trên là nhá»� nhất.

BÃi 5: Cho tam giác nhá»�n ABC có các cạnh a, b, c tÆ°Æ¡ng ứng Ä‘Æ°á»�ng cao

AH = h. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất. Biết MÎAB; NÎAC; P, QÎ BC.

BÃi 6: Cho D ABC vuông tại A. Từ má»™t Ä‘iểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM^BC, IN^AC, IK ^AB. Tìm vị trí của I sao cho tổng IM² + IN² + IK² nhá»� nhất.

BÃi 7: Cho tam giác nhá»�n ABC. Từ má»™t Ä‘iểm I nằm trong tam giác ta kẻ

IM ^ BC, IN ^ AC, IK ^AB. �ặt AK = x; BM = y; CN = z.

Tìm vị trí của I sao cho tổng x² + y² + z² nhá»� nhất.

BÃi 8: Cho ná»­a Ä‘Æ°á»�ng tròn Ä‘Æ°á»�ng kính AB = 10cm. Má»™t dây CD = 6cm có hai đầu di chuyển trên ná»­a Ä‘Æ°á»�ng tròn. Gá»�i E và F theo thứ tá»± là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lá»›n nhất của tứ giác ABFE.

BÃi 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông). Má»™t tiếp tuyến bất kỳ vá»›i cung đó cắt BC, CD theo thứ tá»± ở M và N. Tính Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất của MN.

BÃi 10: Cho hai Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoÃi tại A. Qua A vẽ hai tia vuông góc vá»›i nhau, chúng cắt các Ä‘Æ°á»�ng tròn (O), (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lá»›n nhất.

BÃi 11: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O;R) Ä‘Æ°á»�ng kính BC, A là má»™t Ä‘iểm di Ä‘á»™ng trên Ä‘Æ°á»�ng tròn. Vẽ tam giác Ä‘á»�u ABM có A và M nằm cùng phía đối vá»›i BC. Gá»�i H là chân Ä‘Æ°á»�ng vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gá»�i D, E , F, G theo thứ tá»± là trung Ä‘iểm của OC, CM, MH, OH. Xác định vị trí của Ä‘iểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lá»›n nhất.

BÃi 12: Cho DABC ná»™i tiếp Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) D là điểm bất kỳ thuá»™c cung BC không chứa A và không trùng vá»›i B, C. Gá»�i H, I, K theo thứ tá»± là chân các Ä‘Æ°á»�ng vuông góc kẻ từ D đến các Ä‘Æ°á»�ng thẳng BC, AC, AB.

�ặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z.

a) Chứng minh rằng:

b) Tìm vị trí của Ä‘iểm D để tổng Ânhá»� nhất.

BÃi 13: Cho DABC nhá»�n, Ä‘iểm M di chuyển trên cạnh BC. Gá»�i P, Q là hình chiếu của M trên AB, AC. Xác định vị trí của Ä‘iểm M để PQ có Ä‘á»™ dÃi nhá»� nhất.

BÃi 14: Cho Ä‘oạn thẳng AB và má»™t Ä‘iểm C trên AB. Vẽ trên cùng má»™t ná»­a mặt phẳng bá»� AB các ná»­a Ä‘Æ°á»�ng tròn có Ä‘Æ°á»�ng kính AB, AC, BC. Xác định vị trí của Ä‘iểm C trên Ä‘oạn AB để diện tích phần giá»›i hạn bởi ba ná»­a Ä‘Æ°á»�ng tròn đó dạt giá trị lá»›n nhất.

BÃi 15: Cho Ä‘Æ°á»�ng tròn (O;R). Trong Ä‘Æ°á»�ng tròn (O) vẽ hai Ä‘Æ°á»�ng tròn (O₁) và (O₂) tiếp xúc ngoÃi nhau và tiếp xúc trong vá»›i (O) trong đó bán kính Ä‘Æ°á»�ng tròn (O₂) gấp đôi bán kính Ä‘Æ°á»�ng tròn (O₁). Tìm giá trị nhá»� nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoÃi các hình tròn (O₁) vÃ(O₂) .

IV. HIỆU QUẢ �P DỤNG

 Sau khi áp dụng hÆ°á»›ng dẫn há»�c sinh giải bÃi tập toán cá»±c trị trong hình há»�c, thá»±c tế các em dần dần chú trá»�ng khi giải, không lúng túng, khó khăn nhÆ° trÆ°á»›c.

 Kết quả thu được sau khi áp dụng Ä‘á»� tÃi nÃy được thể hiện ở bảng sau:

C. KẾT LUẬN

 Qua thá»±c tế giảng dạy tôi nhận thấy Ä‘á»� tÃi nÃy có thể áp dụng được cho việc dạy tá»± chá»�n và bồi dưỡng há»�c sinh giá»�i, há»�c sinh tiếp thu tốt có hiệu quả. những em ham thích bá»™ môn Toán và có năng khiếu há»�c Toán có thể sá»­ dụng tÃi liệu nÃy để tá»± há»�c, tá»± nghiên cứu. Há»�c sinh có hứng thú, tá»± tin hÆ¡n khi há»�c Toán.

 Sau khi thá»±c hiện giảng dạy phần “ BÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c 9â€� theo ná»™i dung Ä‘á»� tÃi nÃy kết quả mà tôi thu được kết quả khá khả quan:

 Giúp há»�c sinh giải quyết các bÃi toán vá»� cá»±c trị trong hình há»�c 9 có phÆ°Æ¡ng pháp hÆ¡n, có hiệu quả hÆ¡n và vận dụng vÃo giải quyết các bÃi tập có liên quan, kích thích được sá»± Ä‘am mê há»�c toán nói chung và sá»± say mê giải các bÃi toán cá»±c trị nói riêng.

 Phát huy tính tá»± giác rèn luyện khả năng tÆ° duy tích cá»±c Ä‘á»™c lập, sáng tạo của há»�c sinh thông qua hoạt Ä‘á»™ng giải toán đã được há»�c.

 Giúp há»�c sinh thêm gần gÅ©i vá»›i kíên thức thá»±c tế của Ä‘á»�i sống, rèn luyện nếp nghÄ© khoa há»�c, luôn mong muốn lÃm được những công việc đạt hiệu quả cao nhât, tốt nhất.

Vá»›i Ä‘á»� tÃi “HÆ°á»›ng dẫn há»�c sinh lá»›p 9 giải bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�câ€� tôi đã hệ thống má»™t số dạng cÆ¡ bản nhất vá»� các bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c 9. Trong má»—i giá»� dạy tôi có Ä‘Æ°a ra cÆ¡ sở lí thuyết và những ví dụ trong má»—i ví dụ đó có gợi ý và hÆ°á»›ng dẫn há»�c sinh cách giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.

Các dạng bÃi tập Ä‘Æ°a ra từ dá»… đến khó, từ Ä‘Æ¡n giản đến phức tạp nhằm giúp cho há»�c sinh có những kiến thức cÆ¡ bản vá»� giải bÃi toán cá»±c trị trong hình há»�c 9. Bên cạnh đó tôi còn Ä‘Æ°a ra các ví dụ là các bÃi toán tổng hợp các kiến thức và kÄ© năng tính toán, khả năng tÆ° duy ở cấp há»�c nÃy, qua đó lÃm cho các em say mê hứng thú há»�c tập bá»™ môn Toán.

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1- Sách Giáo khoa Toán 7, 8, 9 - Nhà xuất bản Giáo dục.

 2 – Các chuyên Ä‘á»� bồi dưỡng há»�c sinh Toán 8, 9 Nhà xuất bản Giáo dục.

 3– Nâng cao và phát triển Toán 8, 9 Nhà xuất bản Giáo dục.

 4- Các bÃi toán vá»� giá trị lá»›n nhất, giá trị nhá»� nhất trong hình há»�c phẳng

 ở THCS - VÅ© Hữu Bình (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục.

 5- Các bÃi toán cá»±c trị hình há»�c phẳng - Nhà xuất bản TP.Hồ Chí Minh.

 6-Toán tổng hợp hình há»�c 9 - Nguyá»…n Ä�ức Chí, Nguyá»…n Ngá»�c Huân,

 Bùi Tá Long - Nhà xuất bản TP.Hồ Chí Minh.